Une méthode de point fixe consiste en la construction d'une suite itérative \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) définie par : $$\begin{cases} u_0\text{ donné}\\ u_{n+1}=h(u_n)\quad\forall n\in{\Bbb N}\end{cases}$$
Théorème :
Soit \(h:I\subset{\Bbb R}\to{\Bbb R}\)
On suppose :
- \(I\) est un intervalle fermé non vide de \({\Bbb R}\)
- \(h(I)\subset T\)
- \(h\) est contractante sur \(I\)
Alors la suite \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) définie par \(u_{n+1}=h(u_n)\) (\(u_0\) donné) converge vers l'unique point fixe \(\alpha\in I\) de \(h\)
(Fermé, Fonction contractante, Suite convergente, Point fixe)
Théorème :
Soit \(h:I\subset{\Bbb R}\to{\Bbb R}\)
On suppose :
- \(h\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(I\)
- \(h\) possède un point fixe \(\alpha\) situé dans l'intérieur de \(I\)
- \(\lvert h'(\alpha)\rvert\lt 1\)
Alors il existe \(\rho\gt 0\) tel que toute suite \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) définie par : $$\begin{cases} u_0\in[\alpha-\rho,\alpha+\rho]\\ u_{n+1}=h(u_n)\end{cases}$$ est convergente, de limite \(\alpha\)
(Classe de fonctions, Point fixe, Intérieur, Suite convergente)
